Question

已知椭圆

x2

3

+

y2

4

=1的焦点F与抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点关于直线x-y=0对称．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知定点A（a，b），B（-a，0）（ab≠0，b²≠4a），M是抛物线C上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点为M₁，M₂．求证：当M点在抛物线上变动时（只要M₁，M₂存在且M₁≠M₂）直线M₁M₂恒过一定点，并求出这个定点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意可知椭圆的a，b，求得c进而求得椭圆的焦点，利用点关于直线的对称求得抛物线的焦点，求得p，则抛物线的方程可得．
（Ⅱ）设M，M₁，M₂的坐标由三点共线，利用斜率相等整理求得y₁与y₀的关系，同样的道理可求得y₂与y₀的关系，设（x，y）是直线M₁，M₂上的任意一点，求得y₁y₂=y（y₁+y₂）-4x把y₁y₂代入整理，利用等式恒成立建立方程组求得x和y，进而可判断出动直线M₁，M₂恒过定点．

解答：解：（Ⅰ）∵a=2，b=

3

，∴c=1
椭圆的焦点在y轴上，即F（0，1），F关于直线x-y=0对称的点为（1，0）；
而抛物线的焦点坐标为（

p

2

，0）p=2，所以所求抛物线的方程为y²=4x
（Ⅱ）证明：设M，M₁，M₂的坐标分别为(

y0 2

4

，y0)，(

y1 2

4

，y1)，(

y2 2

4

，y2)
由A、M、M₁三点共线得：

y1 2 4 - y0 2 4

y1-y0

=

y0 2 4 -a

y0-b

，
化简得y₁y₀=b（y₁+y₀）-4a，
∴y₁=

by0-4a

y0-b

；
同理，由B、M、M₂三点共线得：y₂=

4a

y0

设（x，y）是直线M₁，M₂上的任意一点，则y₁y₂=y（y₁+y₂）-4x；
把y₁y₂代入上式整理得：y₀²（4x-by）+4by₀（a-x）+4a（by-4a）=0；
由M是任意的，则有

4x-by=0 a-x=0 by-4a=0

?

x=a y= 4a b

，
所以动直线M₁，M₂恒过定点(a，

4a

b

)

点评：圆锥曲线和直线是解析几何的主线，考查学生的运算能力是解析几何的重要部分，特别是包含比较多字母的运算，同时也考查了“设而不求”的解题策略和数形结合的数学思想方法．