Question

已知函数（为实数，），．

⑴若，且函数的值域为，求的表达式；

⑵设，且函数为偶函数，判断是否大0？

⑶设，当时，证明：对任意实数，

  (其中是的导函数) ．

Answer 1

因为，所以，

因为的值域为，所以，                     ……3分

所以，所以，

所以；                                       ……5分

⑵因为是偶函数，所以，

又，所以，                              ……8分

    因为，不妨设，则，又，所以，

    此时，

所以；                                              ……10分

  ⑶因为，所以，又，则，

     因为，所以

     则原不等式证明等价于证明“对任意实数， ” ，

     即 .                                   ……12分

     先研究 ，再研究.

 ① 记，，令，得，

        当，时，单增；当，时，单减 .

        所以，，即.

     ② 记，，所以在,单减，

所以，，即.

      综上①、②知，.

      即原不等式得证，对任意实数，           ……16分