Question

（本小题满分12分）
已知椭圆经过点M（-2，-1），离心率为。过点M作倾斜角
互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q。
（I）求椭圆C的方程；
（II）能否为直角？证明你的结论；
（III）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值。

Answer 1

解：
（Ⅰ）由题设，得＋＝1，                                                                    ①
且＝，                                                                              ②
由①、②解得a2＝6，b2＝3，
椭圆C的方程为＋＝1．………………………………………………………4分
（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得
(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，x1＝．
设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，
同理得x2＝．…………………………………………………………8分
因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，

因此直线PQ的斜率为定值．……………………………………………………12分

解析