Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF。

（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
（2）若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。

Answer 1

解：（1）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB， 又知AB⊥AD，故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE， 又AM∥CD∥EF，且AM=EF， 证得AEFM是矩形，故AM⊥MF 又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD， 而MF∥AE，得MF⊥面PCD， 故MF⊥PC， 因此MF是AB与PC的公垂线。
（2）连结BD交AC于O，连结BE，过O作BE的垂线OH，垂足H在BE上 易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE， 又OH⊥BE，故OH//DE， 因此OH⊥面MAE 连结AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角 设AB=a，则PA=3a， 因Rt△ADE~Rt△PDA，故 从而在中，sin∠HAO=。