Question

10．方程$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}$+$\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}$=1的解的情况（　　）

• A． 无解
• B． 恰有一解
• C． 恰有两个解
• D． 有无穷多个解

Answer 1

分析 将方程化为|$\sqrt{x-1}$-2|+|$\sqrt{x-1}$-3|=1，令t=$\sqrt{x-1}$，则|t-2|+|t-3|=1，由绝对值不等式的性质，可得2≤$\sqrt{x-1}$≤3，解不等式可得方程的解的个数．

解答 解：方程$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}$+$\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}$=1，
即为$\sqrt{（x-1）-4\sqrt{x-1}+4}$+$\sqrt{（x-1）-6\sqrt{x-1}+9}$=1，
即有|$\sqrt{x-1}$-2|+|$\sqrt{x-1}$-3|=1，
令t=$\sqrt{x-1}$，则|t-2|+|t-3|=1，
由|t-2|+|t-3|≥|（t-2）-（t-3）|=1，
当（t-2）（t-3）≤0，即2≤t≤3，上式取得等号．
则2≤$\sqrt{x-1}$≤3，解得5≤x≤10．
则原方程的解有无穷多个．
故选：D．

点评 本题考查方程的解的情况，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，考查不等式的解法，属于中档题．