Question

15．设函数y=f （x），对任意实数x，y都有f （x+y）=f （x）+f （y）+2xy．
（1）求f （0）的值；
（2）若f （1）=1，求f （2），f （3），f （4）的值；
（3）在（2）的条件下，猜想f （n）（n∈N^*）的表达式并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）利用特殊值法判断即可；
（2）根据条件，逐步代入求解；
（3）猜想结论，根据数学归纳法的证明步骤证明．

解答 解：（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0，得f（0）=0．…（2分）
（2）由f（1）=1，得f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）+2×1×1=4．
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）+2×2×1=9．f（4）=f（3+1）=f（3）+f（1）+2×3×1=16．…（5分）
（3）由（2）可猜想f（n）=n²，…（7分）
用数学归纳法证明：
（i）当n=1时，f（1）=1²=1显然成立．…（8分）
（ii）假设当n=k时，命题成立，即f（k）=k²，…（10分）
则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2×k×1=k²+1+2k=（k+1）²，
故当n=k+1时命题也成立，…（12分）
由（i），（ii）可得，对一切n∈N^*都有f（n）=n²成立．…（14分）

点评 考查了特殊法解决抽象函数问题和数学归纳法证明的步骤，属于基础题型，应熟练掌握．