Question

20．如图正方形BCDE的边长为a，已知AB=$\sqrt{3}$BC，将△ABE 沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：
①AB与DE所成角的正切值是$\sqrt{2}$；
②AB∥CE；
③V_B-ACE的体积是$\frac{1}{6}$a²；
④平面ABC⊥平面ADC；
其中正确的有①④（填写你认为正确的序号）

Answer 1

分析 连接AC，BD，CE，利用勾股定理计算AD，AC，由AD⊥平面BCDE可证BC⊥平面ACD，于是平面ABC⊥平面ADC，从而∠ABC为AB与DE所成角，由CE⊥BD，CE⊥AD得出CE⊥平面ABD，故而CE⊥AB，利用V_B-ACE=V_A-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•AD$，计算棱锥的体积．

解答 解：①连接AC，
∵A点在平面BCDE上的射影为D点，
∴AD⊥平面BCDE，又BC?平面BCDE，
∴BC⊥AD，又BC⊥CD，AD∩CD=D，
∴BC⊥平面ACD，∵AC?平面ACD，
∴BC⊥AC．
∵DE∥BC，
∴∠ABC为AB与DE所成的角．
∵BC=CD=a，AB=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$a，
∴BD=$\sqrt{2}$a，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=a，∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$a．
∴tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{2}$，
故①正确．
②连接BD，CE．
∵AD⊥平面BCDE，CE?平面BCDE，
∴AD⊥CE，
∵四边形BCDE是正方形，
∴CE⊥BD，又BD?平面ABD，AD?平面ABD，AD∩BD=D，
∴CE⊥平面ABD，∵AB?平面ABD，
∴AB⊥CE，
故②错误．
③V_B-ACE=V_A-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•AD$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×a²×a=$\frac{1}{6}{a}^{3}$，
故③错误．
④由（1）知BC⊥平面ACD，又BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD．
故④正确．
故答案为：①④．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．