Question

5．张老师进行教学改革实验，甲班用“模式一”进行教学，乙班用“模式二”进行教学，经过一段时间后，两班用同一套试卷进行测试（满分100 分），按照优秀（大于或等于90 分）和非优秀（90 分以下）统计成绩，得到如下2×2列联表：

	优秀	非优秀	合计
甲班	10
乙班		26
合计			90

已知在两个班总计90人中随机抽取1人为优秀的概率为$\frac{4}{15}$．
参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$（其中n=a+b+c+d）．

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

（1）请完成上面的2×2列联表；
（2）根据2×2列联表的数据，判断能否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学模式有关”；
（3）若甲班成绩优秀的10 名同学中，男生有6 名，女生有4 名，现从这10 名同学中选2 名学生参加座谈，求其中至少含1 名女生的概率．

Answer 1

分析 （1）求得两个班成绩优秀的学生为24，即可求得2×2列联表；
（2）根据所给数据，可得2×2列联表；求出K²，与临界值比较，即可得到没有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学模式有关”．
（3）根据古典概型公式，即可求得至少含1 名女生的概率．

解答 解：（1）在90人中随机抽取1人为优秀的概率为$\frac{4}{15}$，
所以两个班成绩优秀的学生共有90×$\frac{4}{15}$=24人．
可得2×2列联表如下：

	优秀	非优秀	合计
甲班	10	40	50
乙班	14	26	40
合计	24	66	90

（2）K²=$\frac{90×（{10×26-14×40）}^{2}}{34×66×50×40}$=$\frac{225}{88}$≈2.557＜3.841，
因此没有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学模式有关”．
（3）10名同学选2名的同学的事件总数为${C}_{10}^{2}$，
全为男同学的事件为A，事件个数为${C}_{6}^{2}$，
10名同学选2名同学的概率为P（A）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$
至少含1 名女生的概率P=1-$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，古典概型计算公式，属于中档题．