Question

13．已知函数g（x）=log₂（x-1），f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1），
（1）求不等式g（x）≥f（x）的解集；
（2）在（1）的条件下求函数y=g（x）+f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由对数函数的单调性和换底公式，可得x-1≥$\frac{1}{x+1}$＞0，由不等式的解法，即可得到所求解集；
（2）由复合函数的单调性：同增异减，求得函数y在[$\sqrt{2}$，+∞）为增函数，即可得到所求值域．

解答 解：（1）由g（x）≥f（x） 得log₂（x-1）≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1），
即为x-1≥$\frac{1}{x+1}$＞0，
有x≥$\sqrt{2}$或x≤-$\sqrt{2}$，且x+1＞0，x-1＞0，
则不等式g（x）≥f（x）的解集为{x|x≥$\sqrt{2}$}；
（2）y=g（x）+f（x）=log₂（x-1）-log₂（x+1）=log₂$\frac{x-1}{x+1}$，
由y=log₂（1-$\frac{2}{x+1}$），由t=1-$\frac{2}{x+1}$在（1，+∞）递增，y=log₂t在（0，+∞）递增，
可得函数y=log₂$\frac{x-1}{x+1}$在[$\sqrt{2}$，+∞）为增函数，
则x=$\sqrt{2}$时，y取得最小值log₂（3-2$\sqrt{2}$），
且t＜1，可得y=log₂t＜0，
即有函数y=g（x）+f（x）的值域为[log₂（3-2$\sqrt{2}$），0）．

点评 本题考查对数函数的单调性的运用，以及复合函数的单调性：同增异减，考查不等式的解法，属于中档题