Question

4．设f（x）=e^x-ax（a∈R），e为自然对数的底数．
（1）若a=1时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；
（2）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（0），f（0），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=e^x-x，
所以f′（x）=e^x-1；
∴f′（0）=e⁰-1=0，f（0）=e⁰-0=1；    
所以曲线y=f（x）在x=0的切线方程为y=1；
（2）f′（x）=e^x-a；
（i）当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，即函数f（x）在[0，1]上为增函数，
所以函数f（x）在[0，1]上的最小值为f（0）=1；           
（ii）当a＞0时，令f′（x）=0得到x=lna；
若lna≤0，即0＜a≤1时，在[0，1]上，f′（x）＞0，函数f（x）在[0，1]上为增函数，
所以函数f（x）在[0，1]上的最小值为f（0）=1；
若lna≥1，即a≥e时，在[0，1]上，f′（x）＜0，函数f（x）在[0，1]上为减函数，
所以函数f（x）在[0，1]上的最小值为f（1）=e-a；         
若0＜lna＜1，即1＜a＜e时，在[0，lna）上f′（x）＜0，在（lna，1]上f′（x）＞0，
即函数f（x）在[0，lna）上单调递减，在（lna，1]上单调递增，
所以函数f（x）在[0，1]上的最小值为f（lna）=a-alna；                   
综上所述，当a≤1时，函数f（x）在[0，1]上的最小值为1；
当1＜a＜e时，函数f（x）在[0，1]上的最小值为e-a；
当a≥e时，函数f（x）在[0，1]上的最小值为a-alna．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．