Question

4．如图，四边形ABCD为等腰梯形，PD⊥平面ABCD，F为PC的中点，CD=AD=PD，AB=4AE=2CD．
（Ⅰ）求证：EF⊥PC；
（Ⅱ）求平面PAD与平面PCB所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先证明DE⊥平面PCD，可得DE⊥PC，再证明PC⊥平面EFD，即可证明EF⊥PC；
（Ⅱ）过D作DO⊥BC，连接PO，则PO⊥BC，∠DPO是平面PAD与平面PCB所成的角．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为等腰梯形，CD=2，AB=4，AE=1，
∴DE⊥DC，
∵PD⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
∴PD⊥DE，
∵PD∩DC=D，
∴DE⊥平面PCD，
∴DE⊥PC，
∵PD=CD，F为PC的中点，
∴DF⊥PC，
∵DE∩DF=D，
∴PC⊥平面EFD，
∵EF?平面EFD，
∴EF⊥PC；
解：（Ⅱ）过D作DO⊥BC，连接PO，则PO⊥BC，
∴∠DPO是平面PAD与平面PCB所成的角．
设CD=1，则DO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PD=1，
∴PO=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴cos∠DPO=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查平面与平面所成角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．