Question

20．已知函数g（x）的图象与函数f（x）=log₃x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，若g（a）•g（b）=9（其中a＞0且b＞0），则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由关于直线y=x对称的两函数的特点：互为反函数，可得g（x）=3^x，由指数的运算性质可得a+b=2，（a，b＞0），则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）=$\frac{1}{2}$（1+4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$），再由基本不等式可得最小值．

解答 解：函数g（x）的图象与函数f（x）=log₃x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，
可得g（x）为f（x）的反函数，且为g（x）=3^x，
由g（a）•g（b）=9（其中a＞0且b＞0），
可得3^a•3^b=9，即有a+b=2（a，b＞0），
则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）=$\frac{1}{2}$（1+4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$）
≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$）=$\frac{1}{2}$×（5+4）=$\frac{9}{2}$．
当且仅当b=2a=$\frac{4}{3}$时取得最小值$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查关于直线y=x对称的两函数的特点：互为反函数，考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．