Question

14．设f（x）=x²cosθ-x（1-x）+（1-x）²sinθ在x∈[0，1]时，f（x）＞0恒成立．
（1）求证：sinθ＞0，cosθ＞0；          
（2）求θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当x=0时，f（0）=sinθ＞0，当x=1时，f（1）=cosθ＞0；
（2）求得函数f（x）=（1+cosθ+sinθ）x²-（1+2sinθ）x+sinθ，根据二次函数对称轴x₀=$\frac{1+2sinθ}{（1+2sinθ）+（1+2cosθ）}$，由0＜x₀＜1，可知f（x）在[0，1]上恒成立，
△=（1+2sinθ）²-4sinθ（1+cosθ+sinθ）＜0，解得：sin2θ＞$\frac{1}{2}$，根据正弦函数的图象及性质，即可求得x的取值范围，由sinθ＞0，cosθ＞0，求得2kπ+$\frac{π}{12}$＜θ＜2kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z．

解答 解：（1）证明：由题意可知：f（0）=sinθ＞0，f（1）=cosθ＞0；
（2）f（x）=（1+cosθ+sinθ）x²-（1+2sinθ）x+sinθ，
对称轴x₀=$\frac{1+2sinθ}{2（1+cosθ+sinθ）}$=$\frac{1+2sinθ}{（1+2sinθ）+（1+2cosθ）}$，
由（1）可知：0＜x₀＜1，
于是f（x）在[0，1]上恒成立，
当且仅△=（1+2sinθ）²-4sinθ（1+cosθ+sinθ）＜0，
即1-2sin2θ＜0，
解得：kπ+$\frac{π}{12}$＜x＜kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z
结合sinθ＞0，cosθ＞0，
可得2kπ+$\frac{π}{12}$＜θ＜2kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z
即θ的取值范围是（2kπ+$\frac{π}{12}$，2kπ+$\frac{5π}{12}$），k∈Z．

点评 本题考查正弦函数图象及性质，考查二次函数性质，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．