Question

已知函数f（x）=cosx（sinx-cosx）-

1

2

．
（Ⅰ）若0＜α＜π，且cosα=

2

2

，求f（α）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（I）由0＜α＜π，且cosα=

2

2

，可得sinα=

2

2

．代入f（x）即可得出．
（II）由函数f（x）=cosx（sinx-cosx）-

1

2

，利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)-1．即可得出．

解答： 解：（I）∵0＜α＜π，且cosα=

2

2

，
∴sinα=

2

2

．
∴f（α）=cosα（sinα-cosα）-

1

2

=-

1

2

．
（II）函数f（x）=cosx（sinx-cosx）-

1

2

=sinxcosx-cos²x-

1

2

=

1

2

sin2x-

cos2x+1

2

-

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)-1．
∴T=

2π

2

=π．
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，解得

3π

8

+kπ≤x≤kπ+

7π

8

（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递减区间为[

3π

8

+kπ，kπ+

7π

8

]（k∈Z）．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质，考查了计算能力，属于基础题．