Question

关于下列命题：
①函数y=tanx在第一象限是增函数；
②函数y=cos2（

π

4

-x）是奇函数；
③函数y=sin²x-2sinx的值域是[-1，+∞）；
④函数y=sin（

π

4

-2x）在（kπ+

5π

8

，kπ+

7π

8

），k∈Z上是增函数；
⑤设函数f（x）=

( 1 2 )x，x≤0 x 1 2 ，x＞0

，若f（x₀）＞2，则x₀的取值范围是（-∞，-1）∪（4，+∞）．
写出所有正确的命题的题号

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：①函数y=tanx在第一象限不是增函数；
②函数y=cos2（

π

4

-x）=sin2x，即可判断出奇偶性；
③函数y=sin²x-2sinx=（sinx-1）²-1，由于sinx∈[-1，1]，利用二次函数的单调性即可得出函数f（x）的值域；
④函数y=sin（

π

4

-2x）=-sin(2x-

π

4

)，由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，解得

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ（k∈Z），可知：函数f（x）的单调递增区间，即可判断出；
⑤设函数f（x）=

( 1 2 )x，x≤0 x 1 2 ，x＞0

，对x₀分类讨论，当x₀≤0时，由f（x₀）＞2，可得(

1

2

)x0＞2；当x₀＞0时，由f（x₀）＞2，可得

x0

＞2，解出即可．

解答： 解：①函数y=tanx在第一象限不是增函数，不正确；
②函数y=cos2（

π

4

-x）=sin2x是奇函数，正确；
③函数y=sin²x-2sinx=（sinx-1）²-1，∵sinx∈[-1，1]，因此函数f（x）的值域是[-1，3]，不正确；
④函数y=sin（

π

4

-2x）=-sin(2x-

π

4

)，由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，解得

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ（k∈Z），可知：函数f（x）
在（kπ+

5π

8

，kπ+

7π

8

），k∈Z上是增函数，正确；
⑤设函数f（x）=

( 1 2 )x，x≤0 x 1 2 ，x＞0

，当x₀≤0时，由f（x₀）＞2，可得(

1

2

)x0＞2，∴-x₀＞1，解得x₀＜-1；当x₀＞0时，由f（x₀）＞2，可得

x0

＞2，∴x₀＞4．

则x₀的取值范围是（-∞，-1）∪（4，+∞），正确．
综上可得所有正确的命题的题号是②④⑤．
故答案为：②④⑤．

点评：本题考查了三角函数的单调性、二次函数的单调性、分段函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．