(理)无论m为任何实数,直线l:y=x+m与双曲线C:=1(b＞0)恒有公共点.

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;

(2)若直线l经过双曲线C的右焦点F与双曲线C交于P、Q两点,并且满足=,求双曲线C的方程.

(文)已知F₁、F₂分别为椭圆C:=1(a＞b＞0)的左、右焦点,直线l:y=2x+5与椭圆C交于两点P₁、P₂,已知椭圆C的中心O关于直线l的对称点恰好落在椭圆C的左准线上.

(1)求椭圆C的左准线的方程;

(2)如果a²是与的等差中项,求椭圆C的方程.

答案：(理)解：(1)把y=x+m代入曲线=1中,得b²x²-2(x+m)²-2b²=0,整理得(b²-2)x²-4mx-2(m²+b²)=0,当b²=2,m=0时直线与双曲线无交点,这和直线与双曲线恒有公共点矛盾,∴b²≠2.∴e≠.

当b²≠2时,直线与双曲线恒有公共点?Δ=16m²+8(b²-2)(m²+b²)≥0恒成立,即b⁴+b²(m²-2)≥0恒成立,

∵b²＞0,∴b²+(m²-2)≥0.∴b²≥2-m².∵e²==≥,m∈R,

∴()_最大=2.∴e²≥2,∴e≥.综上所述,e∈(,+∞).

(2)设F(c,0),则直线l:y=x-c,将x=y+c代入双曲线方程中,得b²(y+c)²-2y²-2b²=0,

整理得(b²-2)y²+2cb²y+b²c²-2b²=0,设两交点为P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),

则y₁+y₂=,y₁y₂=,∵,∴y₂=5y₁.

∴6y₁=,5y₁²=.消去y₁,得.

∵b²＞0且c²-2=b²,∴=.∴b²=7.∴所求双曲线C的方程为=1.

(文)解：(1)设O关于l的对称点为(x₀,y₀),

∴解之,得x₀=-4.

∴椭圆C的左准线的方程为x=-4.

(2)设P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),F₁(-c,0),F₂(c,0),∴=(x₁+c,y₁),=(x₂-c,y₂),=(c,0).

∴=c(x₁+c),=c(x₂-c).依题意,a²=c(x₁+c)+c(x₂-c)=c(x₁+x₂),

∴x₁+x₂=·.∵=4,∴x₁+x₂=.

∴a²=4c.∴b²=4c-c².∴椭圆C的方程可以化为=1.

由(20-c)x²+80x+100-16c+4c²=0.

∴x₁+x₂=.∴=.解之,得c=2.∴a²=8,b²=4.

∴所求椭圆C的方程为=1.

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