Question

已知平面上两点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是（　　）
①y=x+1；    ②y=2；   ③y=

4

3

x；   ④y=2x+1．

• A、①③
• B、①②
• C、②③
• D、③④

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，由此算出双曲线的方程为

x2

9

-

y2

16

=1．再分别判断双曲线与四条直线的位置关系，可得只有①②的直线上存在点P满足B型直线的条件，由此可得答案．

解答： 解：∵点M（-5，0），N（5，0），点P使|PM|-|PN|=6，
∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线
可得b²=c²-a²=5²-3²=16，双曲线的方程为

x2

9

-

y2

16

=1
∵双曲线的渐近线方程为y=±

4

3

x
∴直线y=

4

3

x与双曲线没有公共点，
直线y=2x+1经过点（0，1）斜率k＞

4

3

，与双曲线也没有公共点
而直线y=x+1、与直线y=2都与双曲线

x2

9

-

y2

16

=1有交点
因此，在y=x+1与y=2上存在点P使|PM|-|PN|=6，满足B型直线的条件
只有①②正确
故选：B

点评：本题给出“B型直线”的定义，判断几条直线是否为B型直线，着重考查了双曲线的定义标准方程、直线与双曲线的位置关系等知识，属于基础题．