Question

14．已知正项等差数列{a_n}的公差d为函数f（x）=x³-6x²+9x的两极值点之差，且d，a₂+1，13-a₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过对f（x）=x³-6x²+9x求导可知正项等差数列{a_n}的公差d=3-1=2，利用d，a₂+1，13-a₃成等比数列计算可知a₂=3，通过a_n=a₂+（n-2）d计算即得结论；
（2）通过$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$与$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2）作差可知$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，通过（1）可知b_n=（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-6x²+9x，
∴f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
令f′（x）=0，解得：x=1或x=3，
∴正项等差数列{a_n}的公差d=3-1=2，
又∵d，a₂+1，13-a₃成等比数列，
∴$（{a}_{2}+1）^{2}$=d（13-a₃），即$（{a}_{2}+1）^{2}$=2（11-a₂），
解得：a₂=3或a₂=-7（舍），
∴数列{a_n}的通项公式a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
（2）∵数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，
∴$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2），
两式相减得：$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∵$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$=1-$\frac{1}{2}$满足上式，且a_n=2n-1，
∴b_n=（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式错位相减得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}$-（2n+3）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-（2n+3）•$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．