Question

设函数f（x）=x²+4x-5，g（x）=ax+3，若不存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，则实数a的取值范围是

[-3，

3

5

]

．

Answer 1

分析：函数f（x）的图象开口向上，对称轴为x=-2，g（x）=ax+3的图象恒过定点（0，3），利用这两个定点，结合图象解决．

解答：解：由于函数f（x）的图象开口向上，对称轴为x=-2，
且f（1）=0，f（-5）=0，故若存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0，必有-5＜x₀＜1
又由g（x）=ax+3中恒过（0，3），
故由函数的图象知：
①若a=0时，g（x）=3恒大于0，显然不存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，故a=0．
②若a＞0时，g（x₀）＜0?x₀＜-

3

a

若不存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，则必有-

3

a

≤-5，解得a≤

3

5

，故0＜a≤

3

5

．
③若a＜0时，g（x₀）＜0?x₀＞-

3

a

若不存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，则必有-

3

a

≥1，解得a≥-3，故-3≤a＜0．
综上可知，实数a的取值范围是：-3≤a≤

3

5

故答案为：[-3，

3

5

]

点评：本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，不等式恒成立和能成立问题的解法，分类讨论的思想方法和转化化归的思想方法，充分挖掘题目中的隐含条件，结合图象法，可使问题的解决来得快捷．本题告诉我们，图解法对于解决存在性问题大有帮助．