Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足${a_1}=\frac{1}{2}，{a_n}+2{S_n}{S_{n-1}}=0（n≥2）$．
①数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$是否为等差数列？并证明你的结论；            
②求S_n；
③求证：$S_1^2+S_2^2+S_3^2+…+S_n^2＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 ①由${a_1}=\frac{1}{2}，{a_n}+2{S_n}{S_{n-1}}=0（n≥2）$．可得S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，化为：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，即可证明．
②利用等差数列的通项公式即可得出．
③n≥2时，${S}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}}$＜$\frac{1}{4}\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．

解答 ①解：∵${a_1}=\frac{1}{2}，{a_n}+2{S_n}{S_{n-1}}=0（n≥2）$．
∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，化为：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$为等差数列，公差为2，首项为2．
②解：$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n．
∴S_n=$\frac{1}{2n}$．
③证明：n≥2时，${S}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}}$＜$\frac{1}{4}\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．
∴${S}_{1}^{2}+{S}_{2}^{2}$+…+${S}_{n}^{2}$≤$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n}$＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式、“裂项求和”与数列的单调性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．