Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）
（1）求a_n和S_n
（2）求证：S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²≤$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$．

Answer 1

分析 （1）确定{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2为首项，2为公差的等差数列，可得S_n=$\frac{1}{2n}$，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用放缩法，裂项求和法，即可得出结论

解答 解：（1）n=1时，S₁=${a_1}=\frac{1}{2}$，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，所以$\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n-1}}}}=2$
所以数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}$=2为首项，公差为2的等差数列．所以$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+（n-1）•2=2n，
即S_n=$\frac{1}{2n}$，当n≥2时，a_n=-2S_nS_n-1=-$\frac{1}{2n（n-1）}$，当n=1时，S₁=a₁=$\frac{1}{2}$，不满足上式
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{-\frac{1}{2n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$，
（2）当n=1时，S₁²=$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4×1}$，原式成立．
当n≥2时，S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4×{2}^{2}}$+$\frac{1}{4×{3}^{2}}$+$\frac{1}{4×{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{4×{n}^{2}}$=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$）≤$\frac{1}{4}$[1+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$]=$\frac{1}{4}$（1+1-$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$
所以S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²≤$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的通项是关键，属于中档题．