Question

11．对于函数y=2sin（3x+$\frac{π}{4}$），求出其定义域，值域，最小正周期，以及单调性．

Answer 1

分析 利用正弦函数的性质，即可求得函数y=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）的定义域、最小正周期、值域、单调性．

解答 解：函数y=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）的定义域为R；
∵-1≤sin（3x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴-2≤2sin（3x+$\frac{π}{4}$）≤2，
∴函数y=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）的值域为：[-2，2]；
最小正周期T=$\frac{2π}{3}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{12}$（k∈Z），
∴函数y=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）的单调增区间为[$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{π}{4}$，$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）；
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）得：$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{5π}{12}$（k∈Z），
∴函数y=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）的单调减区间为[$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{12}$，$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z）．

点评 本题考查正弦函数的性质，着重考查其定义域、最小正周期、值域、单调性，属于基础题．