Question

5．已知{a_n}是公差为3的等差数列，数列{b_n}满足：b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n，则{b_n}的前n项和为$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）．

Answer 1

分析 令n=1，可得a₁=2，结合{a_n}是公差为3的等差数列，可得{a_n}的通项公式，继而可得数列{b_n}是以1为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，进而可得：{b_n}的前n项和．

解答 解：∵a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
当n=1时，a₁b₂+b₂=b₁．
∵b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，
∴a₁=2，
又∵{a_n}是公差为3的等差数列，
∴a_n=3n-1，
∵（3n-1）b_n+1+b_n+1=nb_n．
即3b_n+1=b_n．
即数列{b_n}是以1为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1×（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
故答案为：$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）

点评 本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．