Question

天花板上挂着两串被射击的物体，左边是编号分别为1，2，3，4的小球，右边是编号分别为1，2，3的小三角形，射击时先击中下面的小球或小三角形，才能击中它上面的小球或小三角形，假定某射手每次射击都能击中目标，并且正中全部小球和小三角形才完毕．
（1）求3个小三角形在前5次被击中的概率；
（2）编号为4的小球在第x次被击中，求x的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）分别求出在三次之内全被击中，在四次之内全被击中，在五次之内全被击中的概率，求和即可；
（2）分别求出∴P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4），画出分布列，从而求出期望值．

解答： 解：（1）三个三角形，在三次之内全被击中记为事件A，在四次之内全被击中记为事件B，
在五次之内全被击中记为事件C，3个小三角形在前5次被击中记为事件D，
∴P（A）=

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

8

，P（B）=3×(

1

2

)4=

3

16

，P（C）=6×(

1

2

)5=

3

16

，
∴P（D）=

1

8

+

3

16

+

3

16

=

1

2

；
（2）第4个小球应该是最下面的，
∴P（X=1）=

1

2

，
P（X=2）=（ 1-

1

2

）×

1

2

=

1

4

，
P（X=3）=（ 1-

1

2

）×（ 1-

1

2

）×

1

2

=

1

8

，
P（X=4）=（ 1-

1

2

）×（ 1-

1

2

）×（ 1-

1

2

）×1=

1

8

，
x的分布列如下：

x	1	2	3	4
p	0.5	0.25	0.125	0.125

∴E（X）=1×

1

2

+2×

1

4

+3×

1

8

+4×

1

8

=1.875．

点评：本题考查了独立事件的概率，随机变量及其分布，期望值，是一道基础题．