Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）
（1）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数数；
（2）若f（）=-1，求满足不等式f（x）-f（）＞2的x的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
则＞1，
∴f（）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（•x₁）=f（x₁）-f（）-f（x₁）=-f（）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）令x=，y=1得，f（×1）=f（）+f（1），∴f（1）=0．
令x=3，y=得，f（1）=f（3×）=f（3）+f（），
∵f（）=-1，∴f（3）=1．
令x=y=3得，f（9）=f（3）+f（3）=2，
∴f（x）-f（）＞f（9），f（x）＞f（）
∴，
解得x＞1+．
∴x的取值范围为（1+，+∞）
分析：（1）由f（x•y）=f（x）+f（y），知f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），由此能求出f（1）．设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则＞1，故f（）＞0，由此导出f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（•x₁）=-f（）＜0，从而能够证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）令x=，y=1，得f（1）=0．令x=3，y=，得f（3）=1．令x=y=3，得f（9）=2，故f（x）-f（）≥f（9），f（x）≥f（），由此能求出x的范围．
点评：本题考查抽象函数的性质和应用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．