Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若直线与曲线的交点的横坐标为，且，求整数所有可能的值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：

（1）求出导函数，根据的值分下、负、0进行讨论，可得的正负，从而得单调性；

（2）即方程的解，由于，方程变形为，这样只要研究函数的零点可能在哪个区间即可，由导数知是和上的单调增函数，计算可得结论．

试题解析：

（1）解： ，∴，

①若时， 在上恒成立，所以函数在上单调递增；

②若时，当时， ，函数单调递增，

当时， ，函数单调递减；

③若时，当时， ，函数单调递减，

当时， ，函数单调递增．

综上，若时， 在上单调递增；

若时，函数在内单调递减，在区间内单调递增；

当时，函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，

（2）由题可知，原命题等价于方程在上有解，

由于，所以不是方程的解，

所以原方程等价于，令，

因为对于恒成立，

所以在和内单调递增．

又，

所以直线与曲线的交点有两个，

且两交点的横坐标分别在区间和内，

所以整数的所有值为-3，1．