Question

12．有以下5个命题：
①若P（a，b），Q（c，d）是直线y=kx+m上两个不同的点，则|PQ|可以表示为|c-a|$\sqrt{1+{k}^{2}}$；
②若|$\overrightarrow{a}$|=1．|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，且（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为45°；
③三角形的三边分别是4，5，6，则该三角形的最大内角是最小内角的两倍；
④在平面直角坐标系中所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率，且倾斜角越大，则斜率越大；
⑤若三角形ABC的重心为P，则$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$．
其中正确的命题是①③⑤．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 由条件利用两点间的距离公式、两个向量的夹角公式、余弦定理、直线的倾斜角和斜率、三角形的重心的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：∵P（a，b），Q（c，d）是直线y=kx+m上两个不同的点，则b=ka+m，d=kc+m，
∴|PQ|=$\sqrt{{（a-c）}^{2}{+（b-d）}^{2}}$=$\sqrt{{（a-c）}^{2}{+（ka+m-kc-m）}^{2}}$=|c-a|$\sqrt{1+{k}^{2}}$，故①正确．
②若|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，且（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，则（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1+1×2×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=0，
求得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{1}{2}$，可得 与$\overrightarrow{b}$的夹角＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=120°，故②不正确．
③三角形的三边分别是4，5，6，则该三角形的最大内角为α，最小内角为β，
则由余弦定理可得cosα=$\frac{16+25-36}{2×4×5}$=$\frac{1}{8}$，cosβ=$\frac{36+25-16}{2×5×6}$=$\frac{3}{4}$，2cos²β-1=$\frac{1}{8}$=cosα，
∴α=2β，即该三角形的最大内角是最小内角的两倍，故③正确．
在平面直角坐标系中所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率，但不是倾斜角越大，则斜率越大，
如倾斜角为60°的直线斜率为$\sqrt{3}$，而倾斜角为120°的直线的斜率为-$\sqrt{3}$，故④不正确．
⑤若三角形ABC的重心为P，线段BC的中点为D，则由三角形的重心的性质可得PA=2PD，而$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PD}$，
则有$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=-$\overrightarrow{PA}$，即 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$，故⑤正确，
故答案为：①③⑤．

点评 本题主要考查命题的真假的判断，两点间的距离公式、两个向量的夹角公式、余弦定理、直线的倾斜角和斜率、三角形的重心的性质，属于中档题．