Question

1．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，求此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圆C：x²+（y-1）²=5，可得圆心C（0，1），半径为$\sqrt{5}$．求出圆心C到直线l：mx-y+1-m=0的距离d；利用基本不等式的性质、比较d与半径的关系即可得出．
（Ⅱ）当M与P不重合时，连接CM、CP，则CM⊥MP，利用勾股定理与两点之间的距离公式即可得出；
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{PB}$，直线与圆的方程联立消去y得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，再利用根与系数的关系即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：圆C：x²+（y-1）²=5，可得圆心C（0，1），半径为$\sqrt{5}$．
∴圆心C到直线l：mx-y+1-m=0的距离d=$\frac{|-m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$≤$\frac{|m|}{|2m|}$=$\frac{1}{2}$$＜\sqrt{5}$．
∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）解：当M与P不重合时，连接CM、CP，则CM⊥MP，
∴|CM|²+|MP|²=|CP|²，
设M（x，y）（x≠1），则x²+（y-1）²+（x-1）²+（y-1）²=1，
化简得：x²+y²-x-2y+1=0（x≠1），
当M与P重合时，x=y=1也满足上式．
故弦AB中点的轨迹方程是x²+y²-x-2y+1=0．
（Ⅲ）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{PB}$，
∴$1-{x}_{1}=\frac{1}{2}（{x}_{2}-1）$，化简的x₂=3-2x₁…①
又$\left\{\begin{array}{l}{mx-y+1-m=0}\\{{x}^{2}+（y-1）^{2}=5}\end{array}\right.$消去y得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0…（*）
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$   …②
由①②解得${x}_{1}=\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，带入（*）式解得m=±1，
∴直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系及其判定、基本不等式的性质、勾股定理、两点之间的距离公式、向量共线定理、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．