Question

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立．如果实数m，n满足不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0，那么m²+n²的取值范围是

（9，49）

．

Answer 1

分析：根据对于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立，不等式可化为f（m²-6m+21）＜f（-n²+8n），利用f（x）是定义在R上的增函数，可得（m-3）²+（n-4）²＜4，确定（m-3）²+（n-4）²=4内的点到原点距离的取值范围，利用m²+n² 表示（m-3）²+（n-4）²=4内的点到原点距离的平方，即可求得m²+n² 的取值范围．

解答：解：∵对于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立
∴f（-x）=-f（x）
∵f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0，
∴f（m²-6m+21）＜-f（n²-8n）=f（-n²+8n），
∵f（x）是定义在R上的增函数，
∴m²-6m+21＜-n²+8n
∴（m-3）²+（n-4）²＜4
∵（m-3）²+（n-4）²=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2
∴（m-3）²+（n-4）²=4内的点到原点距离的取值范围为（5-2，5+2），即（3，7）
∵m²+n² 表示（m-3）²+（n-4）²=4内的点到原点距离的平方
∴m²+n² 的取值范围是（9，49）．
故答案为：（9，49）

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式的含义，解题的关键是确定圆内的点到原点距离的取值范围．