Question

已知f(x)=sin(2x+

π

3

)+sin(2x-

π

3

)+2cos2x，x∈R
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调减区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-m在区间[-

π

4

，

π

4

]上没有零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差得正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值即可求出函数的最小正周期；
（2）根据正弦函数的单调减区间为[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，k∈Z，求出x的范围即可；
（3）作出函数y=f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的图象，函数g（x）无零点，即方程f（x）-m=0无解，亦即：函数y=f（x）与y=m在x∈[-

π

4

，

π

4

]上无交点从图象可看出f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的值域为[0，

2

+1]，利用图象即可求出m的范围．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∵ω=2，∴T=π；
（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z得：

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调减区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z；
（3）作出函数y=f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的图象如下：

函数g（x）无零点，即方程f（x）-m=0无解，
亦即：函数y=f（x）与y=m在x∈[-

π

4

，

π

4

]上无交点从图象可看出f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的值域为[0，

2

+1]，
则m＞

2

+1或m＜0．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握公式是解本题的关键．