Question

（2013•朝阳区二模）已知实数x₁，x₂，…，x_n（n∈N^*且n≥2）满足|x_i|≤1（i=1，2，…，n），记S(x1，x2，…，xn)=

1≤i＜j≤n

xixj．
（Ⅰ）求S(-1，1，-

2

3

)及S（1，1，-1，-1）的值；
（Ⅱ）当n=3时，求S（x₁，x₂，x₃）的最小值；
（Ⅲ）当n为奇数时，求S（x₁，x₂，…，x_n）的最小值．
注：

1≤i＜j≤n

xixj表示x₁，x₂，…，x_n中任意两个数x_i，x_j（1≤i＜j≤n）的乘积之和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据已知中S（x₁，x₂，…，x_n）的计算方法可得得S(-1，1，-

2

3

)及S（1，1，-1，-1）的值．
（Ⅱ）n=3时，S=S(x1，x2，x3)=

1≤i＜j≤3

xixj=x1x2+x1x3+x2x3．再固定x₂，x₃，仅让x₁变动，那么S是x₁的一次函数或常函数，因此S≥min{S（1，x₂，x₃），S（-1，x₂，x₃）}．同理S（1，x₂，x₃）≥min{S（1，1，x₃），S（1，-1，x₃）}．S（-1，x₂，x₃）≥min{S（-1，1，x₃），S（-1，-1，x₃）}．以此类推，我们可以看出S≥min{S（x₁，x₂，x₃）}．从而求得S（x₁，x₂，…，x_n）的最小值．
（Ⅲ）S=S(x1，x2，…，xn)=

1≤i＜j≤n

xixj=x₁x₂+x₁x₃+…+x₁x_n+x₂x₃+…+x₂x_n+…+x_n-1x_n．固定x₂，x₃，…，x_n，仅让x₁变动，那么S是x₁的一次函数或常函数，类似于（II）中的方法得出S（x₁，x₂，…，x_n）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得S(-1，1，-

2

3

)=-1+

2

3

-

2

3

=-1．
S（1，1，-1，-1）=1-1-1-1-1+1=-2．       …（3分）
（Ⅱ）n=3时，S=S(x1，x2，x3)=

1≤i＜j≤3

xixj=x1x2+x1x3+x2x3．
固定x₂，x₃，仅让x₁变动，那么S是x₁的一次函数或常函数，
因此S≥min{S（1，x₂，x₃），S（-1，x₂，x₃）}．
同理S（1，x₂，x₃）≥min{S（1，1，x₃），S（1，-1，x₃）}．
S（-1，x₂，x₃）≥min{S（-1，1，x₃），S（-1，-1，x₃）}．
以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x₁，x₂，x₃所达到，
于是S≥min{S（x₁，x₂，x₃）}．
当x_k=±1（k=1，2，3）时，S=

1

2

[(x1+x2+x3)2-(

x

2 1

+

x

2 2

+

x

2 3

)]=

1

2

(x1+x2+x3)2-

3

2

．
因为|x₁+x₂+x₃|≥1，
所以S≥

1

2

-

3

2

=-1，且当x₁=x₂=1，x₃=-1，时S=-1，
因此S_min=-1．                  …（7分）
（Ⅲ）S=S(x1，x2，…，xn)=

1≤i＜j≤n

xixj=x₁x₂+x₁x₃+…+x₁x_n+x₂x₃+…+x₂x_n+…+x_n-1x_n．
固定x₂，x₃，…，x_n，仅让x₁变动，那么S是x₁的一次函数或常函数，
因此S≥min{S（1，x₂，x₃，…，x_n），S（-1，x₂，x₃，…，x_n）}．
同理S（1，x₂，x₃，…，x_n）≥min{S（1，1，x₃，…，x_n），S（1，-1，x₃，…，x_n）}．
S（-1，x₂，x₃，…，x_n）≥min{S（-1，1，x₃，…，x_n），S（-1，-1，x₃，…，x_n）}．
以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x₁，x₂，…，x_n所达到，
于是S≥min{S（x₁，x₂，x₃，…，x_n）}．
当x_k=±1（k=1，2，…，n）时，
S=

1

2

[(x1+x2+…+xn)2-(

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

)]=

1

2

(x1+x2+…+xn)2-

n

2

．
当n为奇数时，因为|x₁+x₂+…+x_n|≥1，
所以S≥-

1

2

(n-1)，另一方面，若取x1=x2=…=x

n-1

2

=1，x

n-1

2

+1=x

n-1

2

+2=…=xn=-1，
那么S=-

1

2

(n-1)，
因此Smin=-

1

2

(n-1)．…（13分）

点评：本题主要考查函数与方程的综合运用、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑推理能力．属于难题．