Question

17．已知圆C：（x-a）²+（y-a）²=2a²（a＞0）及其外一点A（0，2）．若圆C上存在点T满足∠CAT=$\frac{π}{4}$，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． $[\sqrt{3}-1，1）$
• C． $[\sqrt{3}-1，1]$
• D． $[\sqrt{3}-1，+∞）$

Answer 1

分析 化标准方程易得圆的圆心为M（a，a），半径r=$\sqrt{2}$|a|，由题意可得1≥$\frac{TM}{AM}$≥sin∠MAT，由距离公式可得a的不等式，解不等式可得．

解答 解：化圆的方程为标准方程可得（x-a）²+（y-a）²=2a²，
∴圆的圆心为M（a，a），半径r=$\sqrt{2}$|a|，
∴AM=$\sqrt{{a}^{2}+（a-2）^{2}}$，TM=$\sqrt{2}$|a|，
∵AM和TM长度固定，
∴当T为切点时，∠MAT最大，
∵圆M上存在点T使得∠MAT=45°，
∴若最大角度大于45°，则圆M上存在点T使得∠MAT=45°，
∴$\frac{TM}{AM}$=$\frac{\sqrt{2}|a|}{\sqrt{{a}^{2}+（a-2）^{2}}}$≥sin∠MAT=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理可得a²+2a-2≥0，解得a≥$\sqrt{3}$-1或a≤-$\sqrt{3}-1$，
又$\frac{TM}{AM}$=$\frac{\sqrt{2}|a|}{\sqrt{{a}^{2}+（a-2）^{2}}}$≤1，解得a≤1，
又点 A（0，2）为圆M：x²+y²-2ax-2ay=0外一点，
∴0²+2²-4a＞0，解得a＜1
∵a＞0，∴$\sqrt{3}-1$≤a＜1．
故选：B．

点评 本题考查圆的一般式方程和圆的性质，涉及距离公式的应用，属中档题．