Question

（本小题满分12分）已知函数

（1）若函数无零点，求实数的取值范围；

（2）若存在两个实数且，满足,，求证．

 

Answer 1

（1）；（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据题意可知，无零点等价于不存在实数，使得，因此考虑通过求导来求函数的值域：，∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，而当时，，当时，，，∴的值域为，从而实数的取值范围是；（2）由题意可知，，

从而问题等价于求证函数图象关于直线的不对称性，即等价于求证时，，通过构造辅助函数通过求导即可得证．

试题解析：（1）令，∴，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，而当时，，当时，，，∴的值域为，∴实数的取值范围是；（2）由（1）可知，，∵，

∴，∴在上单调递增，上单调递减，∴不妨设，

，令，设，

∴，令，

∴，∴在上单调递增，∴，

即当时，，，故，

∴，，又∵，，，∴，

∴．

考点：导数的运用．