Question

13．已知函数f（x）=ax²-2x+2+lnx（a＞0）
（1）若f（x）在其定义域上是单调增函数，求实数a的取值集合；
（2）当a=$\frac{3}{8}$时，函数y=f（x）在[eⁿ，+∞]（n∈Z）有零点，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）分离参数，求函数的导数，利用导数和单调性之间的关系，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）根据函数的单调性，利用极值与x轴之间的关系，确定n的最大值．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}-2x+1}{x}$，
若f（x）在其定义域上是单调增函数，
则a≥$\frac{2x-1}{{2x}^{2}}$在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{2x-1}{{2x}^{2}}$，则g′（x）=$\frac{-4x（x-1）}{{2x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：x＞1，
∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴g（x）_max=g（1）=$\frac{1}{2}$，
故a≥$\frac{1}{2}$
故a∈[$\frac{1}{2}$，+∞）．
（2）由（1）知y_极大=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{5}{6}$+ln$\frac{2}{3}$＞0，
y_极小=f（2）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，
当x＞0且x→0时f（x）＜0，故f（x）在定义域上存在唯一零点x₀，且x₀∈（0，$\frac{2}{3}$），
若n≥0，则eⁿ≥1，[eⁿ，+∞）?（$\frac{2}{3}$，+∞），此区间不存在零点，舍去．
若n＜0，当n=-1时，x∈[$\frac{1}{e}$，+∞），f（$\frac{1}{e}$）=1+$\frac{3}{{8e}^{2}}$-$\frac{2}{e}$＞0，
又（$\frac{1}{e}$，$\frac{2}{3}$）为增区间，此区间不存在零点，舍去．
当n=-2时，x∈[$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞），f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$（$\frac{3}{{8e}^{2}}$-2）＜0，
又在区间（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{2}{3}$），y=f（$\frac{2}{3}$）＞0，此时x₀∈（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{2}{3}$），
综上n_max=-2．

点评 本题主要考查函数的单调性与导数之间的关系，以及利用根的存在性定义判断函数零点问题，综合性较强，难度较大．