Question

给出下列命题：
（1）函数y=

x2+5

x2+4

的最小值是2；
（2）函数y=sinx+

4

sinx

的最小值为4；
（3）无论α怎样变化，直线xcosα+ysinα+1=0与圆x²+y²=1总相切．
（4）圆x²+y²+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为

2

的点有3个．
上述命题中，正确命题的番号是

（3）（4）

．

Answer 1

分析：对于（1）先将 y=

x2+5

x2+4

化为 y=

x2+4

+

1

x2+4

形式，但是不能直接用基本不等式求最值，因为等号取不到，可采用导数判单调性求最值．
对于（2）根据三角函数的范围得到sinx的范围，函数y=sinx+

4

sinx

的值可以取到负值，即可判断．
（3）由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，比较d与r的大小即可得到直线与圆的位置关系．
（4）由圆心到直线的距离等于半径的一半，可知圆上有三个点到直线x+y+1=0的距离为

2

．

解答：解：（1）y=

x2+5

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

，
令t=

x2+4

，则t≥2，则 y=t+

1

t

y′=1-

1

t2

≥0，所以 y=t+

1

t

在[2，+∝）上是增函数，
所以 y=t+

1

t

在[2，+∝）上的最小值是2+

1

2

=

5

2

，故错；
（2）根据三角函数的范围得到sinx的范围，函数y=sinx+

4

sinx

的值可以取到负值，故错；
（3）由题设知圆心到直线的距离 d=

|1|

cos2θ+sin2θ

=1=r，圆的半径 r=1，
所以直线xcosθ+ysinθ-2=0与圆x²+y²=1的位置关系是相切．正确；
（4）圆x²+y²+2x+4y-3=0的圆心（-1，-2）到直线x+y+1=0的距离为

|-1-2+1|

2

=

2

，是半径2

2

的一半，故圆上有三个点到直线x+y+1=0的距离为

2

，正确．
故答案为：（3）（4）．

点评：本题主要考查利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时要注意等号是否能取到，容易出错．还考查直线与圆的位置关系的判断，以及转化与化归的思想方法，圆心到直线的距离为d，当d＞r，直线与圆相离；当d=r，直线与圆相切；当d＜r，直线与圆相交，属于基础题．