Question

【题目】设函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤2016π），则函数f（x）的各极大值之和为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：：∵函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）， ∴f′（x）=[ex（sinx﹣cosx）]′=ex（sinx﹣cosx）+ex（cosx+sinx）=2exsinx；
令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈Z）；
∴当2kπ＜x＜2kπ+π时，f′（x）＞0，原函数单调递增，
当2kπ+π＜x＜2kπ+2π时，f′（x）＜0，原函数单调递减；
∴当x=2kπ+π时，函数f（x）取得极大值，
此时f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]=e2kπ+π；
又∵0≤x≤2016π，∴0和2016π都不是极值点，
∴函数f（x）的各极大值之和为：
eπ+e3π+e5π+…+e2015π= ，
故选：D．
先求f′（x）=2exsinx，这样即可得到f（π），f（3π），f（5π），…，f（2015π）为f（x）的极大值，并且构成以eπ为首项，e2π为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求f（x）的各极大值之和即可．