Question

设函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数为f′（x）且满足f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　）

• A、f（-2013）＞e^-2013f（0），f（2013）＞e²⁰¹²f（1）
• B、f（-2013）＜e^-2013f（0），f（2013）＜e²⁰¹²f（1）
• C、f（-2013）＞e^-2013f（0），f（2013）＜e²⁰¹²f（1）
• D、f（-2013）＜e^-2013f（0），f（2013）＞e²⁰¹²f（1）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据条件f′（x）＞f（x），构造函数F（x）=

f(x)

ex

，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：设F（x）=

f(x)

ex

，
∵f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，
∴F′（x）=

f′(x)-f(x)

ex

＜0，
∴F（x）在R上递减，
且F（0）=f（0），
∴F（-2013）=

f(-2013)

e-2013

＞F（0）=f（0），
∴f（-2013）＞e^-2013f（0），
又F（1）=

f(1)

e

，F（2013）=

f(2013)

e2013

，
∴F（2013）＜F（1），
∴f（2013）＜e²⁰¹²f（1），
故选：C．

点评：本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，利用条件构造函数F（x）=

f(x)

ex

是解决本题的关键，综合考查导数的应用