Question

已知f（x）=alnx+

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2

x2，若对任意不相等的两个正数x₁，x₂都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[0，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、（0，1）
• D、（0，1]

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：先确定f（x）=alnx+

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x2在（0，+∞）上单增，再利用导数，可得a≥-x²恒成立，即可求出实数a的取值范围．

解答： 解：设x₁＜x₂∈（0，+∞）
∴x₁-x₂＜0
∵（（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）=alnx+

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2

x2在（0，+∞）上单增，
∴f′（x）=

a

x

+x＞0恒成立，
∴a＞-x²恒成立，
∴a≥-x²_max，
∴a≥0，
故实数a的取值范围是[0，+∞），
故选：A．

点评：本题考查函数单调性，考查导数知识的运用，确定f（x）在（0，+∞）上单增是关键．