Question

函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（-2）=0，且x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，则不等式xf（x）＞0的解集是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用导数求得函数y=xf（x）在（0，+∞）上是增函数，函数y=xf（x）（-∞，0）上也是增函数，且可得f（2）=f（-2）=0，从而求得不等式xf（x）＞0的解集．

解答： 解：∵x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，
即[xf（x）]′＞0，
∴函数y=xf（x）在（0，+∞）上是增函数，
又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（-2）=0，
∴函数y=xf（x）是奇函数，且在（-∞，0）上也是增函数，
且f（2）=f（-2）=0，
故不等式xf（x）＞0的解集为{x|-2＜x＜0，或x＞2}，
故答案为：{x|-2＜x＜0，或x＞2}．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．