Question

已知M（2，3）、N（2，-3）两点在以F（2，0）为右焦点的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，斜率为1的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN的两侧）．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求四边形ANBM面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）通过椭圆的焦点求出焦距，利用椭圆的定义求出a，然后求解b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出|x_A-x_B|，然后求四边形ANBM面积的表达式，即可求解面积的最大值．

解答： （本小题满分15分）
解：（I）∵右焦点为F（2，0）∴左焦点为F′（-2，0）…．（1分）
∴2a=|MF′|+|MF|=8a=4…．（4分）
即：a²=16，b²=a²-c²=12…．（6分）
∴椭圆C的方程为：

x2

16

+

y2

12

=1…．（7分）
（II）设l：y=x+m，联立

x2 16 + y2 12 =1 y=x+m

可得：7x²+8mx+4m²-48=0…．（9分）
x_A+x_B=

-8m

7

    x_A•x_B=

4m2-48

7

∴|xA-xB|=

(xA+xB)2-4xA•xB

=

48(28-m2)

7

…．（11分）
∴四边形ANBM的面积S=

1

2

|xA-xB|•|MN|=

3 48(28-m2)

7

即：S≤

24 21

7

…．（13分）
∵等号成立当且仅当m=0时，验证m=0交点在直线MN两侧成立  …．（14分）
∴面积的最大值为

24 21

7

…．（15分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的方程的求法，韦达定理的应用，二次函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力．