练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=
    f(x)
    x
    在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=
    f(x)
    x2
    在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．
    （Ⅰ）已知函数f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，求实数h的取值范围；
    （Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，
    x a b c a+b+c
    f（x） d d t 4
    求证：d（2d+t-4）＞0；
    （Ⅲ）定义集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．
    （I）因为f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，
    即g（x）=
    f(x)
    x
    =x2-2hx-h，在（0，+∞）是增函数，所以h≤0  …（2分）
    而h（x）=
    f(x)
    x2
    =x-2h-
    h
    x
    在（0，+∞）不是增函数，
    又∵h′（x）=1+
    h
    x2
    ，且
    当h（x）是增函数时，有h≥0，所以当h（x）不是增函数时，h＜0
    综上，得h＜0                          …（4分）
    证明：（Ⅱ） 因为f（x）∈Ω1，且0＜a＜b＜c＜a+b+c，
    所以
    f(a)
    a
    ＜
    f(a+b+c)
    a+b+c
    =
    4
    a+b+c
    ，所以f（a）=d＜
    4a
    a+b+c
    ，
    同理可证f（b）=d＜
    4b
    a+b+c
    ，f（c）=t＜
    4c
    a+b+c

    三式相加得f（a）+f（b）+f（c）=2d+t＜
    4(a+b+c)
    a+b+c
    =4
    所以2d+t-4＜0                        …（6分）
    因为
    d
    a
    ＜
    d
    b
    ，所以d（
    b-a
    ab
    ）＜0
    而0＜a＜b，所以d＜0
    所以d（2d+t-4）＞0                                …（8分）
    （Ⅲ） 因为集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，
    所以?f（x）∈Φ，存在常数k，使得 f（x）＜k 对x∈（0，+∞）成立
    我们先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立
    假设?x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞0，
    记
    f(x0)
    x02
    =m＞0
    因为f（x）是二阶比增函数，即
    f(x)
    x2
    是增函数．
    所以当x＞x0时，
    f(x)
    x2
    ＞
    f(x0)
    x02
    =m，所以f（x）＞mx2
    所以一定可以找到一个x1＞x0，使得f（x1）＞mx12＞k
    这与f（x）＜k 对x∈（0，+∞）成立矛盾                 …（11分）
    即f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立
    所以?f（x）∈Φ，f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立
    下面我们证明f（x）=0在（0，+∞）上无解
    假设存在x2＞0，使得f（x2）=0，
    则因为f（x）是二阶增函数，即
    f(x)
    x2
    是增函数
    一定存在x3＞x2＞0，使
    f(x3)
    x32
    ＞
    f(x2)
    x22
    =0，这与上面证明的结果矛盾
    所以f（x）=0在（0，+∞）上无解
    综上，我们得到?f（x）∈Φ，f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立
    所以存在常数M≥0，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立
    又令f（x）=-
    1
    x
    （x＞0），则f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
    又有
    f(x)
    x2
    =
    -1
    x3
    在（0，+∞）上是增函数，所以f（x）∈Φ，
    而任取常数k＜0，总可以找到一个xn＞0，使得x＞xn时，有有f（x）＞k
    所以M的最小值 为0       …（16分）
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=log3
    		3
    x
    1-x
    ，M(x1，y1)，N(x2，y2)    是f（x）图象上的两点，横坐标为
    1
    2
    的点P满足2
    OP
    =
    OM
    +
    ON
    （O为坐标原点）．
    （Ⅰ）求证：y1+y2为定值；
    （Ⅱ）若Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
    （Ⅲ）已知an=
    1
    6
    ，                          n=1
    1
    4(Sn+1)(Sn+1+1)
    ，n≥2
    ，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列说法正确的有（　　）个．
    ①已知函数f（x）在（a，b）内可导，若f（x）在（a，b）内单调递增，则对任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
    ②函数f（x）图象在点P处的切线存在，则函数f（x）在点P处的导数存在；反之若函数f（x）在点P处的导数存在，则函数f（x）图象在点P处的切线存在．
    ③因为3＞2，所以3+i＞2+i，其中i为虚数单位．
    ④定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和In=
    n
    i=1
    f(ξi)△x    中ξi的选取是任意的，且In仅于n有关．
    ⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是12，26．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=sin（2x-
    π
    6
    ），g（x）=sin（2x+
    π
    3
    ），直线y=m与两个相邻函数的交点为A，B，若m变化时，AB的长度是一个定值，则AB的值是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （Ⅰ）已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C．
    （i）求函数f（x）的单调区间；
    （ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1，S2．则
    S1S2
    为定值；
    （Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x3-ax+b存在极值点．
    （1）求a的取值范围；
    （2）过曲线y=f（x）外的点P（1，0）作曲线y=f（x）的切线，所作切线恰有两条，切点分别为A、B．
    （ⅰ）证明：a=b；
    （ⅱ）请问△PAB的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案