Question

11．以下几个命题中，其中真命题的序号为（　　）
①设A、B为两个定点，k为非零常数，|$\overrightarrow{PA}$|-|$\overrightarrow{PB}$|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②设定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），则动点P的轨迹为椭圆；
③抛物线y=$\frac{1}{8}$x²的焦点是椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的上顶点；
④双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=-1的渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x．

• A． ①②③④
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 根据双曲线，椭圆，抛物线的定义和性质，逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：①设A、B为两个定点，k为非零常数，|OA|-|OB|=k＞|AB|，则动点P的轨迹为双曲线
|OA|-|OB|=k=|AB|，则动点P的轨迹为两条射线，故错误；
②设定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），则P是AB的中点，
由AB的长度不变，则圆心C到AB的距离即CP长不变，
则动点P的轨迹为圆，故错误；
③抛物线y=$\frac{1}{8}$x²的标准方程为：x²=8y，故其焦点为（0，2）点，该点是椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的上顶点，故正确；
④双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=-1的渐近线是$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=0，即y=±$\frac{1}{2}$x，故正确．
故选：D．

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了圆锥曲线的定义和性质，难度中档．