Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx+d，其图象在点（1，f（1））处的切线斜率为0，若a＜b＜c，且函数f（x）的单调递增区间为（m，n），则n-m的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{3}{2}$）
• B． （$\frac{3}{2}$，3）
• C． （1，3）
• D． （2，3）

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率可得a+b+c=0，由a＜b＜c，可得a＜0，b＞0，求出-$\frac{1}{2}$＜$\frac{c}{a}$＜-2，由f′（1）=0得到方程有一根为1，设出另一根，根据韦达定理可表示出另一根，根据求出的范围求出另一根的范围，令导函数大于0的不等式的解集应该为x大于另一根小于1，所以n-m就等于1减另一根，求出1减另一根的范围即可．

解答 解：f'（x）=ax²+bx+c，
由图象在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
得f'（1）=0，即a+b+c=0，
由a＜b＜c知：c＞0，a＜0．
由a＜b=-a-c＜c，得-$\frac{1}{2}$＜$\frac{c}{a}$＜-2，
由f'（1）=0知：方程f'（x）=0即ax²+bx+c=0的一根为1，
设另一根为x₀，则由韦达定理，得x₀=$\frac{c}{a}$．
由a＜0，令f'（x）=ax²+bx+c＞0，得x₀＜x＜1，
则[m，n]=[x₀，1]，从而n-m=1-x₀∈（$\frac{3}{2}$，3），
故选B．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查不等式的性质的运用，以及二次方程的韦达定理，属于中档题．