Question

17．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1，a∈R．
（1）若函数f（x）的最小值为0，求a的值．
（2）证明：e^x+（lnx-1）sinx＞0．

Answer 1

分析 （1）f（x）的最大值问题，需要借助导数，对比极值与端点值确定，而由最值也可确定出未知量a
（2）借助第一问，将问题转化为经常见的形式：$\frac{sinx}{x}$

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞）
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$
∵f（x）有最小值，而f（x）无端点值，
∴f（x）必定在x=a处取得极小值，也是最小值
∴f（a）=lna+1-1=0
∴a=1
（2）定义域为（0，+∞）
第一问知：a=1时，f（x）有最小值0
∴f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1≥0
即lnx-1≥-$\frac{1}{x}$
∴e^x+（lnx-1）sinx≥e^x-$\frac{sinx}{x}$
当x＞0时，sinx＜x，即$\frac{sinx}{x}$＜1＜e^x
即e^x-$\frac{sinx}{x}$＞0
∴e^x+（lnx-1）sinx＞0

点评 本题考查的是函数最值问题，需要借助导数确定极值，然后与段端值对比确定出最值的一个逆用．第二问的$\frac{sinx}{x}$也是一个常见形式，需熟记．