Question

7．若$x+\frac{4}{x-1}≥{m^2}-2am-3$对所有的x∈[2，4]和a∈[-1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-4，2]
• B． [-2，4]
• C． [-2，2]
• D． [-4，4]

Answer 1

分析 由基本不等式可得x+$\frac{4}{x-1}$的最小值，再由恒成立可得m和a的不等式，构造函数h（a）=-2ma+m²-8，a∈[-1，1]，由一次函数和恒成立可得m的不等式组，解不等式组可得．

解答 解：∵x∈[2，4]，∴x-1∈[1，3]，
∴x+$\frac{4}{x-1}$=x-1+$\frac{4}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$+1=5，
当且仅当x-1=$\frac{4}{x-1}$即x=3时，上式取最小值5，
∴5≥m²-2am-3对a∈[-1，1]恒成立，
即m²-2am-8≤0对a∈[-1，1]恒成立，
构造函数h（a）=-2ma+m²-8，a∈[-1，1]，
由恒成立可得$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）=2m+{m}^{2}-8≤0}\\{h（1）=-2m+{m}^{2}-8≤0}\end{array}\right.$，
解关于m的不等式可得-2≤m≤2，
故选：C．

点评 本题考查基本不等式求最值以及恒成立问题，属中档题．