Question

16．三棱锥A-BCD的外接球半径为$\sqrt{13}$，AD=2，且满足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}=0$，则三棱锥A-BCD体积的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，转化为对角线长，再根据基本不等式，即可求出最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}=0$，
∴侧棱AB、AC、AD两两垂直，
补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，
设长方体的三度为a，b，c由题意得：a²+b²+c²=4R²=4×13=52，
∵AD=c=2，
∴a²+b²=48，
∴48=a²+b²≥2ab，即ab≤24，
∴V_A-BCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$abc≤8，
故选：C．

点评 本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在，属于中档题．