Question

12．数列{a_n}的前n项和为S_n，2S_n+a_n=n²+2n+2，n∈N^*．
（1）求证：{a_n-n}为等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{n•（a_n-n）}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由n=1时，a₁=S₁，可得首项，再由n换为n-1，相减可得{a_n-n}为首项为$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可得到所求；
（2）求得n•（a_n-n）=$\frac{2}{3}$n•（$\frac{1}{3}$）^n-1，再由数列的求和方法：错位相减法，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：2S_n+a_n=n²+2n+2，n∈N^*．
可得2S₁+a₁=5，a₁=S₁可得a₁=$\frac{5}{3}$，
即有a₁-1=$\frac{2}{3}$，
2S_n+a_n=n²+2n+2，n∈N^*．
可得2S_n-1+a_n-1=（n-1）²+2（n-1）+2，
相减可得2a_n+a_n-a_n-1=2n-1+2，
即有3（a_n-n）=a_n-1-（n-1），
则{a_n-n}为首项为$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
即有a_n-n=$\frac{2}{3}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1，
即为a_n=$\frac{2}{3}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1+n；
（2）n•（a_n-n）=$\frac{2}{3}$n•（$\frac{1}{3}$）^n-1，
前n项和T_n=$\frac{2}{3}$[1+2•$\frac{1}{3}$+3•$\frac{1}{9}$+…+n•（$\frac{1}{3}$）^n-1]，
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{2}{3}$[1•$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{9}$+3•$\frac{1}{27}$+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ]，
相减可得，$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{2}{3}$[1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+（$\frac{1}{3}$）^n-1-n•（$\frac{1}{3}$）^n-1]
=$\frac{2}{3}$[$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$-n•（$\frac{1}{3}$）^n-1]，
即有前n项和T_n=$\frac{3}{2}$-（n+$\frac{1}{2}$）•（$\frac{1}{3}$）^n-1．

点评 本题考查数列通项公式的求法，考查构造法的运用，以及等比数列的求和公式，同时考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．