Question

9．如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形，由定积分公式计算阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，
由函数y=x与y=$\sqrt{x}$围成阴影部分的面积为∫₀¹（$\sqrt{x}$-x）dx=（$\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$）|₀¹=$\frac{1}{6}$，
由于y=x²与y=$\sqrt{x}$互为反函数，所以阴影部分的面积为$\frac{1}{3}$，
则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．