Question

4．已知f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{b}{x}$+c（b，c为常数）和g（x）=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{x}$是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x₀∈M使得f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀），且f（x₀）=g（x₀），则f（x）在集合M上的最大值为（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． 5
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 由基本不等式可得g（x）≥1（当且仅当$\frac{1}{4}$x=$\frac{1}{x}$，即x=2时，等号成立），从而可得c=-1-$\frac{b}{2}$，求导f′（x）=x-$\frac{b}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{3}-b}{{x}^{2}}$，从而可得b=8，c=-5，从而解得．

解答 解：∵g（x）=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{\frac{1}{4}}$=1，
（当且仅当$\frac{1}{4}$x=$\frac{1}{x}$，即x=2时，等号成立），
∴f（2）=2+$\frac{b}{2}$+c=g（2）=1，
∴c=-1-$\frac{b}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{b}{x}$=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{b}{x}$-1-$\frac{b}{2}$，
∴f′（x）=x-$\frac{b}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{3}-b}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在x=2处有最小值，
∴f′（2）=0，
即b=8，故c=-5，
故f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{8}{x}$-5，f′（x）=$\frac{{x}^{3}-8}{{x}^{2}}$，
故f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，4]上是增函数，
而f（1）=$\frac{1}{2}$+8-5=$\frac{7}{2}$，f（4）=8+2-5=5，
故f（x）的最大值为5，
故选：B．

点评 本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用．