Question

19．已知函数f（x）的定义域为（-∞，0），其导函数为f′（x），且满足2f（x）+f′（x）＜0，则不等式f（x+2015）＜$\frac{f（-4）}{{e}^{2x+4038}}$的解集为（　　）

• A． {x|x＞-2019}
• B． {x|x＜-2015}
• C． {x|-2019＜x＜-2015}
• D． {x|-2019＜x＜0}

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^2xf（x），可得（-∞，0）上的减函数，化不等式为g（x+2015）＜g（-4），由单调性可得x的不等式，解不等式可得．

解答 解：∵[e^2xf（x）]′=2e^2xf（x）+e^2xf′（x）=e^2x[2f（x）+f′（x）]，
又∵2f（x）+f′（x）＜0，∴[e^2xf（x）]′=e^2x[2f（x）+f′（x）]＜0，
∴函数g（x）=e^2xf（x）是（-∞，0）上的减函数． 
由不等式f（x+2015）＜$\frac{f（-4）}{{e}^{2x+4038}}$可得e^2x+4030f（x+2015）＜e^-8f（-4），
即g（x+2015）＜g（-4），故-4＜x+2015＜0，
解得-2019＜x＜-2015，
故不等式的解集为{x|-2019＜x＜-2015}，
故选：C．

点评 本题考查函数的单调性和导数的关系，构造函数g（x）=e^2xf（x）并利用函数的单调性是解决问题的关键，属中档题．